OTTO BUCHEGGER ERZÄHLT

Ziffern Stricken

Ein sehr einfaches, mathematisches Spielchen meiner Kindheit und Jugend. Wer es mir beigebracht hat, weiß ich nicht mehr. Ich glaube, es war eine Jugendzeitschrift, die meine Neugier und die Liebe zur Mathematik geweckt hat.

Es geht ganz einfach

  1. Man nehme 2 Ziffern

  2. Man addiere sie und setze die Einerstelle davon neben die rechte Ziffer

  3. Dann addiert man die beiden neuen Ziffern und setzt die Einerstelle wieder neben die rechte Ziffer usw.


Ein Beispiel:

Die beiden ersten Ziffern (das Ausgangspaar) sind 2 und 2

22 ..... 2+2=4

224 ..... 2+4=6

2246 ..... 4+6=10, die Einerstelle also 0

22460 ..... 6+0=6

224606


Vordergründig sieht das nur wie eine stumpfsinnige Übung zum Addieren (Zusammenzählen) aus, aber ich habe auch einiges Abstraktes dazu gelernt.

1. Es gibt nur 100 Ziffernpaare, von 00 bis 99. Die Anzahl ist also endlich.

2. Da die Anzahl endlich ist, muss das Ausgangspaar irgendwann wieder auftauchen, wenn man nur lange genug strickt. Richtig? Richtig!

3. Wenn man als Ausgangspaar zwei gerade Ziffern, also 0, 2, 4, 6, 8, nimmt, entstehen nur weitere gerade Paare (wie im Beispiel oben 22 24 46 60 06). Da es nur 50 gerade Ziffernpaare gibt, sollte also die Wiederholung früher eintreten, als bei anderen Kombinationen.
Richtig oder falsch? Wir werden sehen!

4. Was ist das Ausgangspaar mit der schnellsten Wiederholung, wenn man 00 ausschließt. 00 bleibt immer 00. Da muss man schon ein bisschen nachdenken oder ausprobieren!

5. Muss man nun wirklich alle 99 verbleibenden Ziffernpaare ausprobieren? Nein, muss man nicht, und warum nicht, zeige ich jetzt gleich.


Mit dem Ausgangspaar 2 und 2 kommt man nach 20 Schritten wieder auf die Ausgangsposition und alles beginnt wieder von vorne. Und das nicht nur für 22 sondern auch für alle, die zwischendurch daraus entstanden sind, also auch 24, 46 usw.

2 2 4 6 0 6 6 2 8 0 8 8 6 4 0 4 4 8 2 0 2 2

- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - 2

Wenn ich mein Ergebnis in die Tabelle von 01 bis 99 eintrage, dann kann ich schon für 20 Paare sagen, wie oft sie sich wiederholen. Die brauche ich also nicht mehr wieder neu zu testen. Aus Platzgründen schreibe ich erst später dies alles in einer einzigen Tabelle zum Schluss zusammen.


Nehmen wir nun zwei ungerade Ziffern, z.B. 1 und 1.

1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 1 1

- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - 3 - - - - - - - - - 4 - - - - - - - - - 5 - - - - - - - - - 6

Also erst nach 60 Schritten wiederholt sich das Muster. Ich trage die 60 Paare wieder in meine Tabelle ein. Die Tabelle ist damit schon ziemlich voll geworden. 80 Plätze sind nun schon besetzt. Nun nehme ich das erste bisher noch nicht gewählte Paar, nämlich 0 und 5

0 5 5 0 5

- - -

Super, schon nach drei Schritten wieder holt sich das. Ich erinnere mich noch an meine Kindheit, wo ich noch nicht so systematisch vorgegangen bin und ich diese Kombination geträumt habe und überglücklich aufgewacht bin. Das ist mir übrigens oft in meinem Leben passiert, dass ich knifflige Probleme im Schlaf gelöst habe. Ich trage also 05, 55 und 50 ein.

Ich nehme wieder die nächste noch nicht gestrickte Kombination, nämlich 1 und 3

1 3 4 7 1 8 9 7 6 3 9 2 1 3

- - - - - - - - - 1 - -

Wiederholt sich noch 12 Schritten, also sogar schneller als die 20er oben! Ich trage die 12 Paare ein.


Wenn ich alles richtig eingetragen habe, müssten jetzt nur 99 – (3+12+20+60) = 4 Felder frei sein. Ich probiere also die nächste Kombination, die noch nicht vorgekommen ist und die man leicht sieht, wenn man selbst die Tabelle füllt, nämlich 2 und 6

2 6 8 4 2 6

- - - -

Und sie füllt tatsächlich die restlichen 4 Felder!


Zusammenfassung

3er

0 5 5 0 5

- - -

4er

2 6 8 4 2 6

- - - -

12er

1 3 4 7 1 8 9 7 6 3 9 2 1 3

- - - - - - - - - 1 - -

20er

2 2 4 6 0 6 6 2 8 0 8 8 6 4 0 4 4 8 2 0 2 2

- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - 2

60er

1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 1 1

- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - 2 - - - - - - - - - 3 - - - - - - - - - 4 - - - - - - - - - 5 - - - - - - - - - 6


Fertige Liste mit den Wiederholungen aller 100 (99) Kombinationen

Paar Wiederholung
00 (0)
01 60
02 20
03 60
04 20
05 3
06 20
07 60
08 20
09 60
10 60
11 60
12 60
13 12
14 60
15 60
16 60
17 60
18 18
19 60
20 20
21 12
22 20
23 60
24 20
25 60
26 4
27 60
28 20
29 60
30 69
31 60
32 60
33 60
34 12
35 60
36 60
37 60
38 60
39 12
40 20
41 60
42 4
43 60
44 20
45 60
46 20
47 12
48 20
49 60
50 3
51 60
52 60
53 60
54 60
55 3
56 60
57 60
58 60
59 60
60 60
61 60
62 20
63 12
64 20
65 60
66 20
67 60
68 4
69 60
70 60
71 12
72 60
73 60
74 60
75 60
76 12
77 60
78 60
79 60
80 20
81 60
82 20
83 60
84 4
85 60
86 20
87 60
88 20
89 12
90 60
91 60
92 12
93 60
94 60
95 60
96 60
97 12
98 60
99 60

Ist doch ganz interessant, nicht wahr? So ganz nebenbei, das Ziffernstricken ist eine extrem simple Möglichkeit, sich eine komplexe Zahl mit z.B. 60 Stellen ganz einfach zu merken. Für das Bild unten braucht man nur die 11 und etwas Kopfrechnen!

Eine Zahl mit 60 Ziffern merken

Ich habe übrigens große Teile meines Studiums (auch Gymnasiums) mit Nachhilfeunterricht finanziert. Und auch schwachen Schülern hat das Ziffernstricken richtig Spaß gemacht, weil es sehr einfach war, aber man trotzdem viel Kopfrechnen musste. Meist habe ich immer mit der schnellsten Kombination 05 begonnen, und wenn ich die Stunde bequem füllen musste, ein 60er, z.B. 01, aufgegeben. Ist alles lange her!

Heute kann man damit vielleicht Seniorinnen und Senioren im Altersheim mit sinnvollem, aber leichtem Denksport etwas beschäftigen. Man nennt dies Aktivieren. Es muss ja nicht immer Sudoku sein! Ich habe es dort allerdings noch nie selbst ausprobiert! Vielleicht ist das Schreiben doch ein Problem? Hat es schon jemand versucht?


Ich habe dieses Spielchen als Zahlen stricken kennen gelernt. Als Kind war mir der Unterschied zwischen Ziffer und Zahl nicht so klar. Und wenn man etwas addiert, dann ist es ja auch eine Zahl. Aber unter dem Strich generiert man nur einen String von Ziffern mit der Vorschrift z[n+2] := (z[n] + z[n+1]) modulo 10
Die Beschäftigung mit der Modulofunktion ist übrigens hochinteressant, wie fast alles in der Mathematik, aber das ist ein anderes Kapitel.

 

 

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